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Séminaire des équipes de recherche

TV reconstruction and Optimal Transport

  • Date : 22/03/2017
  • Place : Inria de Paris - Bâtiment A - salle A415
  • Guest(s) : David Vicente (Université de Graz) - Xianglong DUAN (CMLS, X)

David Vicente - Un résultat de reconstruction exacte pour TV sous une contrainte de type EDP 

Cet exposé traite du problème suivant : comment reconstruire une fonction lorsque l’on sait que celle-ci est constante par morceaux et qu’elle est la solution d’une certaine EDP sans condition aux bords. Comme un opérateur différentiel sans condition aux bords n’est généralement pas inversible, ce problème est mal posé. Cependant, si nous supposons que la solution est à variation bornée, alors ce problème admet une solution unique qui est donnée par la minimisation de la variation totale parmi l’ensemble des solutions de cette EDP. Ceci est établi sous l’hypothèse que l’espace des sauts doit satisfaire une certaine condition géométrique et, afin de prouver que celle-ci n’est pas trop restrictive, nous démontrons qu’elle est satisfaite presque partout par rapport à l’orientation du domaine dans l’espace. La preuve de ces résultats nous ont conduit à généraliser la notion de front d’onde, classique au sens des espaces de Sobolev, à l’espace des fonctions à variation bornée. Enfin, pour illustrer leur intérêt pratique, nous montrerons qu’ils peuvent s’appliquer à une nouvelle technique d’imagerie par résonance magnétique, Quantitative Susceptibility Mapping, qui consiste en la résolution d’un problème inverse de ce type.

Ceci est un travail en collaboration avec Kristian Bredies, de l’Université de Graz (Autriche).

Xianglong DUAN - Examples of gradient flows based on optimal transport of differential forms 

Optimal transport theory has been a powerful tool for the analysis and the computation of parabolic equations viewed as gradient flows of volume forms according to suitable transportation metrics. In this talk, we present two examples of gradient flows for closed (d-1)-forms in R^d. Both can be viewed as the Eulerian version of some suitable heat equation for curves in the Euclidean space (including the so-called curve-shortening flow).

Keywords: Mokameeting Reconstruction Optimal transport theory EDP

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