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Mathématiques appliquées, calcul et simulation

7/03/2011

Mieux comprendre les irrégularités du monde

© INRIA-École Centrale Paris / Équipe REGULARITY

L’équipe de recherche Regularity étudie l’irrégularité mathématique, présente dans de nombreux phénomènes, naturels comme les battements du cœur aussi bien qu’artificiels telles les fluctuations  boursières. L’équipe a développé le logiciel FracLab pour identifier et mesurer l’irrégularité présente dans des systèmes afin de mieux les comprendre, voire de les améliorer. Cet outil regroupe les meilleurs algorithmes du domaine et ambitionne de devenir un standard en la matière.

Équipe commune avec l’École Centrale Paris créée en 2010, Regularity étudie l’irrégularité mathématique, dans la mesure où celle-ci fait partie intégrante du phénomène, c’est-à-dire que ces fluctuations doivent avoir une fonction, un rôle, voire être à l’origine du phénomène. L’irrégularité n’est donc pas le chaos. Jacques Lévy-Vehel, responsable de l’équipe Regularity, commente : "Une courbe représentant des fluctuations boursières, par exemple, est irrégulière, mais obéit à des lois probabilistes. Il est possible d’observer et de comprendre ces changements, pour aller au-delà de  "ça monte et ça descend n’importe quand"".

Une nouvelle approche riche de promesses

Déterminer ce qui est irrégulier ou non, comment cela se manifeste et même parfois pourquoi, voilà le cœur du travail de l’équipe Regularity, qui se base sur des mathématiques théoriques, mais s’inspire aussi des applications qui lui sont soumise. Pour cela, les chercheurs s’appuient sur l’analyse harmonique (décomposition fréquentielle des fonctions) et les équations différentielles qui régissent l’évolution des phénomènes au cours du temps. Ces dernières sont, par exemple, très employées en aéronautique. "Le problème est que les modèles utilisés sont approximatifs car sinon ils seraient trop lourds à manier. Grâce à la régularité, il est possible de mesurer la complexité nécessaire pour appréhender le phénomène" , remarque Érick Herbin, professeur à l’Ecole Centrale Paris. Cette nouvelle approche de l’irrégularité peut s’appliquer à de nombreux autres domaines mathématiques, par exemple pour affiner des représentations stochastiques, grâce notamment à la mise à disposition du logiciel open-source FracLab qui regroupe les avancées de l’équipe et de collaborateurs extérieurs.

Une analyse en trois étapes

© INRIA-École Centrale Paris / Équipe REGULARITY

La première étape de l’analyse consiste à détecter si les fluctuations observées reflètent bien des irrégularités propres au phénomène considéré. Une deuxième phase repose sur la mesure de l’irrégularité en étudiant sa structure au travers d’une représentation graphique, notamment l’intensité des sauts et l’espace occupé par la courbe. La dernière étape consiste alors à fabriquer des signaux idéaux, c’est-à-dire à prescrire les différentes sortes d’irrégularités dans la situation idéale. En suivant cette démarche, il est possible de synthétiser des électrocardiogrammes présentant les irrégularités "typiques" d’un cœur sain. On peut ensuite effectuer des comparaisons statistiques pour détecter des arythmies sur un signal donné.

Une grande diversité de champs d’investigation et d’applications

© INRIA-École Centrale Paris / Équipe REGULARITY

Les domaines d’application sont extrêmement nombreux car ils concernent tous les phénomènes où l’irrégularité a une fonction. Regularity a ainsi travaillé avec Dassault sur la modélisation de terrains naturels afin de rendre les indications d’altitude sur leurs cartes numériques plus précises. La régularité des sommets étant plus forte dans le cas de montagnes anciennes que jeunes du fait de l’érosion, étudier l’altitude revenait à étudier la régularité de ces sommets. Le modèle mathématique a ainsi permis d’appliquer une fourchette pour compléter la carte et souligner les points de mesure incohérents. Dans le domaine de la santé, les chercheurs ont étudié la manière de limiter l’impact du non-respect des prescriptions médicamenteuses qui provoque des irrégularités de concentration des produits dans le sang. La modélisation des comportements et des mauvaises prises permettront par exemple aux laboratoires pharmaceutiques de modifier la concentration en produit actif  ou les posologies afin d’atténuer ces variations.

Mots-clés : Saclay - Île-de-France Irrégularité Regularity Mathématiques appliquées

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