RR-5852 : Arbitrary Precision Error Analysis for computing $\zeta(s)$ with the Cohen-Olivier algorithm: Complete description of the real case and preliminary report on the general case

Abstract : 1. Let $s$ be a real number. We prove that, if $s\ge1/2$, $s\not=1$ and $s$ can be written with $D_s$ bits in base 2, then in order to compute $\zeta(s)$ in any relative precision $P\ge11$, that is, in order to compute a $P-$bit number $\zeta_P(s)$such that $|\zeta_P(s)-\zeta(s)|$ is certified to be smaller than the number $ulp(\zeta_P(s))$ represented by a ``1'' at the $P-$th (and last) significant bit-place of $|\zeta_P(s)|$, it is sufficient to perform all the computations (i.e. additions, subtractions, multiplications, divisions, and computation of $k^s$ for integers $k\ge2$) with an internal precision $$ D= \max\left(D_s,P+\max\left(14, \left\lceil\frac3\logP2\log2+2.71 \right\rceil\right)\right) $$ (all this contributing an error less than $ulp(\zeta_P(s)/2$), and then to round to the nearest $P-$bit number. For instance if the wanted precision is $P=1000$ (and if $s$ has no more than 1018 significant bits), then an internal precision $D=1018$ is sufficient.

2. Let $s=\sigma+it$ be a complex non real number. Assume $\sigma\ge1/2$ and $t>0$. First we address the problem of exploiting an error relative to modulus in order to estimate the relative errors of each of the real and imaginary parts of the computed $\zeta(s)^*$. Determining regions of the complex plane where these parts cannot vanish could help.Then we establish an easily computable upper bound for a crucial quantity in the error analysis (for the error relative to modulus), subject to the truth of an open conjecture of Brent on the size of the error committed while computing the Bernoulli numbers; we note that the upper bound one can obtain without this conjecture can become so large that even for certain ``reasonable'' value of $s$ it is of no practical use.

Résumé : 1. Soit $s$ un nombre réel. Si $s\ge1/2$, $s\not=1$ et $s$ s'écrit en base 2 avec $D_s$ chiffres significatifs, nous montrons que pour calculer $\zeta(s)$ avec une précision relative quelconque $P\ge11$, c'est-à-dire pour calculer un nombre $\zeta_P(s)$ de $P$ chiffres significatifs en base 2 de sorte que $|\zeta_P(s)-\zeta(s)|$ soit garanti inférieur au nombre $ulp(\zeta_P(s))$ representé par un ``1'' à la place du $P-$ème (et dernier) chiffre significatif de $|\zeta_P(s)|$, il suffit d'exécuter toutes les opérations (additions, soustractions, multiplications, divisions, calcul de $k^-s$ pour des entiers $k\ge2$) avec une précision interne $$ D= \max\left(D_s,P+\max\left (14, \left\lceil\frac3\logP2\log2+2.71\right\rceil\right)\right) $$ (tout ceci contribuant une erreur inférieure à $ulp(\zeta_P(s))/2$), puis d'arrondir au nombre de $P$ chiffres significatifs le plus proche. Par exemple si la précision finale voulue est $P=1000$ (et si $s$ n'a pas plus de 1018 chiffres significatifs en base 2), alors une précision interne $D=1018$ suffit.

2. Soit $s=\sigma+it$ un nombre complexe non réel. Supposons que $\sigma\ge1/2$ et $t>0$. D'abord nous abordons le problème d'utiliser une erreur relative au module pour estimer les erreurs relatives à chacune des parties réelle et imaginaire du nombre calculé $\zeta(s)^*$. Connaître des régions du plan complexe où ces parties ne s'annulent pas pourrait être utile. Puis nous établissons une borne supérieure simple à calculer pour une quantité cruciale de l'analyse d'erreur (pour l'erreur relative au module), sous l'hypothèse qu'une conjecture de Brent concernant l'erreur commise lors du calcul des nombres de Bernoulli est bien vérifiée; nous remarquons que la borne supérieure que l'on obtient sans cette hypothèse peut devenir si grande pour certaine valeurs ``raisonnables'' de $s$ qu'elle n'est plus d'aucune utilité pratique.

RR-5852 - Arbitrary Precision Error Analysis for computing $\zeta(s)$ with the Cohen-Olivier algorithm: Complete description of the real case and preliminary report on the general case