RR-5284 : Properties of Random Direction Models

Abstract :

A number of mobility models have been proposed for the purpose of either analyzing or simulating the movement of users in a mobile wireless network. Two of the more popular are the random waypoint and the random direction models. The random waypoint model is physically appealing but difficult to understand. Although the random direction model is less appealing physically, it is much easier to understand. User speeds are easily calculated, unlike for the waypoint model, and, as we will observe, user positions and directions are uniformly distributed. The contribution of this paper is to establish this last property for a rich class of random direction models that allow future movements to depend on past movements. To this end, we consider finite one- and two-dimensional spaces. We consider two variations, the random direction model with wrap around and with reflection. We establish a simple relationship between these two models and, for both, show that positions and directions are uniformly distributed in steady-state for a class of Markov movement models regardless of initial position. In addition, we establish a sample path property for both models, namely that any piecewise linear movement applied to a user preserves the uniform distribution of position and direction provided that users were initially uniformly throughout the space with equal likelihood of being pointed in any direction.

Résumé :

Plusieurs modèles de mobilité ont récemment été proposés dans le but d'analyser ou de simuler le mouvement des utilisateurs dans un réseau sans fil. Les plus connus sont le random waypoint et le modèle à direction aléatoire. Le random waypoint possède de bonnes propriétés physiques mais son analyse est difficile. Le modèle à direction aléatoire semble moins attrayant, mais il possède d'excellentes propriétés mathématiques. La vitesse d'un mobile y est facile à calculer contrairement au random waypoint. En outre, à l'état stationnaire, la position et la direction des mobiles sont uniformément distribuées, indépendamment de l'état initial des mobiles. La contribution de cet article est d'établir ces deux dernières propriétés, pour une classe générale de modèles à direction aléatoire, dans lesquels les mouvements futurs d'un mobile peuvent dépendre de ses mouvements passés. Ces résultats sont obtenus pour des utilisateurs évoluant dans un espace fini de dimension un ou deux. Deux variantes sont étudiées selon que les mobiles sont réfléchis ou réapparaissent instantanément à un autre endroit de l'espace lorsqu'ils atteignent une frontière. Des relations simples entre ses deux variantes sont établies, à partir desquelles nous montrons que dans les deux cas la position et la direction des mobiles sont uniformément distribuées à l'état stationnaire. Par des arguments trajectoriels, nous montrons également que pour les deux variantes n'importe quel mouvement de mobilité linéraire par morceaux préserve la distribution uniforme de la position et de la direction, dès lors que les mobiles sont initialement uniformément distribués dans l'espace en position et en direction.

RR-5284 - Properties of Random Direction Models