Charpiat, Guillaume
- Faugeras, Olivier
- Keriven, Renaud
Titre français : Approximations de métriques de formes et applications à la déformation et à
l'estimation de statistiques empiriques
Abstract : This article proposes a framework for dealing with several problems related to the analysis of shapes. Two related such problems are the definition of the relevant set of shapes and that of defining a metric on it. Following a recent research monograph by Delfour and Zolesio , we consider the characteristic functions of the subsets of ^2 and their distance functions. The L^2 norm of the difference of characteristic functions, the L^ and the W^1,2 norms of the difference of distance functions define interesting topologies, in particular that induced by the well-known Hausdorff distance. Because of practical considerations arising from the fact that we deal with image shapes defined on finite grids of pixels we restrict our attention to subsets of ^2 of positive reach in the sense of Federer , with smooth boundaries of bounded curvature. For this particular set of shapes we show that the three previous topologies are equivalent. The next problem we consider is that of warping a shape onto another by infinitesimal gradient descent, minimizing the corresponding distance. Because the distance function involves an inf, it is not differentiable with respect to the shape. We propose a family of smooth approximations of the distance function which are continuous with respect to the Hausdorff topology, and hence with respect to the other two topologies. We compute the corresponding Gâteaux derivatives. They define deformation flows that can be used to warp a shape onto another by solving an initial value problem. We show several examples of this warping and prove properties of our approximations that relate to the existence of local minima. We then use this tool to produce computational definitions of the empirical mean and covariance of a set of shape examples. They yield an analog of the notion of principal modes of variation. We illustrate them on a variety of examples.
Résumé : Nous proposons dans cet article un cadre pour traiter un certain nombre de problèmes liés à l'analyse de formes. Nous commen ons par ceux de la définition d'un espace de formes et d'une métrique sur celui-ci. À partir d'une monographie de recherche récenter due à Delfour et Zolésio , nous considérons les fonctions caractéristiques des sous-ensembles de ^2 et leurs fonctions distance. La norme L^2 de la différence de deux fonctions caractéristiques, les normes L^ et W^1,2 de la différence de deux fonctions distance définissent des topologies intéressantes, en particulier celle induite par la célèbre distance de Hausdorff. Des considérations d'ordre pratique liées au fait que nous nous intéressons à des formes image définies sur des grilles finies de pixels, nous concentrons notre attention sur des sous-ensembles de ^2 dits de Federer , avec une frontière lisse et de courbure bornée. Nous démontrons que pour cet espace de forme les trois topologies précédentes sont équivalentes. Le problème suivant est celui de la déformation d'une forme en une autre forme par une descente de gradient infinitésimale, en minimisant l'une des trois distances. La présence d'un inf dans la définition de la fonction distance rend celle-ci non-différentiable par rapport à la forme. Nous proposons donc une famille d'approximations régulières de la fonction distance, continues par rapport à la distance de Hausdorff, et donc par rapport aux deux autres distances considérées. Nous calculons les dérivées de Gâteaux correspondantes. Celle-ci définissent des champs de déformation avec lesquels on peut déformer une forme en une autre en résolvant un problème de Cauchy. Nous illustrons cette idée à l'aide de plusieurs exemples et prouvons des propriétés de notre approximation relatives à l'existence de minima locaux. Nous utilisons ensuite cet outil pour définir de manière computationnelle la moyenne empirique et la covariance d'un ensemble de formes. Ceci conduit à une notion analogue à celle des modes principaux de déformation que nous illustrons sur des exemples.
Key-Words : SHAPE METRICS / CHARACTERISTIC FUNCTIONS / DISTANCE FUNCTIONS / DEFORMATION
FLOWS / LOWER SEMI CONTINUOUS ENVELOPE / SHAPE WARPING / EMPIRICAL MEAN SHAPE /
EMPIRICAL COVARIANCE OPERATOR / PRINCIPAL MODES OF VARIATION
Mots-clés : MÉTRIQUES DE FORMES / FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES D'ENSEMBLES / FONCTIONS
DISTANCE / FLOTS DE DÉFORMATION / ENVELOPPE SEMI CONTINUE INFÉRIEUREMENT /
DÉFORMATION DE FORMES / MOYENNE EMPIRIQUE DE FORMES / OPERATEUR EMPIRIQUE DE
COVARIANCE / MODES DE DÉFORMATIONS
