Pennec, Xavier
Titre français : Calculer la moyenne de primitives géométriques Application au cas des rotations
Abstract : The question we investigate in this article is: what is the mean value of a set of geometric features and how can we compute it? We use as a guiding example one of the most studied type of features in computer vision and robotics: 3D rotations. The usual techniques on points consist of minimizing the least-square criterion, which gives the barycenter, the weighted least-squares or the sum of (squared) Mahalanobis distances. Unfortunately, these techniques rely on the vector space structure of points and generalizing them directly to other types of features could lead to paradoxes \cite{Pennec:JMIV:97}. For instance, computing the barycenter of rotations using rotation matrices, unit quaternions or rotation vectors gives three different results. We present in this article a thorough generalization of the three above criterions to homogeneous Riemannian manifolds that rely only on intrinsic characteristics of the manifold. The necessary condition for the mean rotation, independently derived in \cite{denney96}, is obtained here as a particular case of a general formula. We also propose an intrinsic gradient descent algorithm to obtain the minimum of the criterions and show how to estimate the uncertainty of the resulting estimation. These algorithms prove to be not only accurate but also efficient: computations are only 3 to 4 times longer for rotations than for points. The accuracy prediction of the results is within 1%, which is quite remarkable. The striking similarity of the algorithms' behavior for general features and for points stresses the validity of our approach using Riemannian geometry and lets us anticipate that other statistical results and algorithms could be generalized to manifolds in this framework.
Résumé : Nous nous intéressons dans cet article à la question suivante : qu'est-ce que la moyenne d'un ensemble de primitives géométriques et comment la calculer ? Nous prennons comme illustration l'un des types de primitives le plus utilisé en vision par ordinateur et en robotique: les rotations 3D. Les techniques usuelles pour les points consitent à minimiser le critère des moindres carrés, ce qui donne le barycentre, les moindres carrés pondérés ou la somme des distances de Mahalanobis (au carré). Malheureusement, ces techniques reposent sur la structure d'espace vectoriel des points et nous avons déjà montré que leur généralisation hative à d'autres types de primitives conduit à des paradoxes. Par exemple, le calcul du barycentre de rotations en utilisant les matrices de rotation, les quaternions unitaires ou le vecteur rotation donne trois résultats différents. Nous présentons dans cet article une généralisation rigoureuse au cas de variétés riemanniennes homogènes des trois critères évoqués ci-dessus. Cette generalisation repose sur caractéristiques intrinsèques de la variété considérée. Les conditions nécéssaires caractérisant la rotation moyenne, dérivées indépendemment dans \cite{denney96}, sont ici obtenues comme un cas particulier de la formule générale. Nous proposons également un algorithme de descente de gradient intrinsèque à la variété pour obtenir le minimum des critères et nous montrons comment estimer l'incertitude sur notre estimation résultante. Ces algorithmes apparaissent non seulement précis mais aussi efficaces pusisqu'ils ne prennent que 3 à 4 fois plus de temps pour les rotations que pour les points. La prédiction d'incertitude est correcte à moins de 1% près, ce qui est également remarquable. La similarité frappante entre le comportement de ces algorithmes pour des primitives générales et pour les points souligne la validité de notre approche théorique utilisant la géométrie riemannienne et nous permet d'anticiper la généralisation d'autres résultats et algorithmes statistiques aux variétés en utilisant le même cadre
Key-Words : MEAN FEATURE / MEAN ROTATION / FUSION / RIEMANNIAN GEOMETRY
Mots-clés : PRIMITIVE MOYENNE / ROTATION MOYENNE / FUSION / GÉOMÉTRIE RIEMANNIENNE
