Analyse et simulation numériques

La simulation permet, par exemple, d'estimer un risque sismique ou le devenir de déchets nucléaires enfouis. Pour cela les modèles mathématiques élaborés pour rendre compte de ces phénomènes doivent être transformés en un modèle numérique qu'il s'agira de concevoir au mieux du résultat attendu.

La modélisation doit permettre de faire des simulations, que ce soit pour évaluer la validité du modèle au regard des données recueillies sur le terrain, pour pouvoir faire des prévisions ou pour estimer les risques associés à des scénarios. C'est le cas par exemple de l'étude des risques sismiques (voir encadré) ou de l'évaluation du danger de contamination potentielle représenté par les déchets nucléaires enfouis sur lequel travaillent les équipes Sage et Estime en collaboration avec l'Andra¹. Il s'agit pour cet organisme de trouver un site propice à l'enfouissement des déchets radioactifs, c'est-à-dire stable d'un point de vue géologique, peu humide car l'eau transporte les polluants, et bénéficiant d'un environnement argileux ralentissant la dispersion. La contribution des chercheurs de l'INRIA est de permettre la simulation de la dispersion des éléments radioactifs à partir des modèles mis au point par les hydrologues et les géophysiciens. Pour résoudre les nombreux problèmes mathématiques et numériques soulevés par la mise en œuvre de ces modèles, les chercheurs de SAGE et ESTIME mobilisent toute leur science en analyse numérique et simulation. Tout l'art est d'obtenir un modèle calculable, c'est-à-dire donnant un résultat en un temps raisonnable, en développant des méthodes adaptées au problème.

Approximations, incertitudes et grands domaines

Le modèle suppose de nombreux couplages entre sous modèles selon, par exemple, que les milieux sont saturés d'eau ou contiennent un mélange eau-air. Le modèle du transport des éléments radioactifs, qui se fait notamment par l'eau, doit également être couplé à des modèles rendant compte des réactions chimiques se produisant entre eux et avec la roche (voir fig. 5). « On a souvent affaire à des problèmes non linéaires comprenant des complications mathématiques et numériques difficiles à traiter. Leur résolution passe par des approximations qu'il s'agit de choisir judicieusement. Par exemple, certaines méthodes perdent la propriété de conservation de la masse, ce qui peut être sans conséquence pour des simulations en temps courts mais n'est pas acceptable pour des temps géologiques ; d'autres méthodes ajoutent des artefacts numériques, simulant par exemple une diffusion absente du modèle physique », explique Jocelyne Erhel, responsable de l'équipe-projet SAGE.
Les numériciens se heurtent également aux incertitudes dues à la grande hétérogénéité du sous-sol : on ne connaît pas de façon précise, ni partout, les caractéristiques physiques des roches de la zone concernée ce qui pose un problème pour définir la valeur des paramètres du modèle. « Un problème récurrent en géologie et en hydrologie, mais également dans beaucoup d'autres domaines touchant à l'environnement, est qu'il existe toujours un déséquilibre entre le nombre de paramètres (très grand) et le nombre de mesures disponibles (très faible) », explique Jérôme Jaffré, responsable de l'équipe-projet ESTIME. « Cela rend le savoir-faire mathématique et numérique très précieux car il faut résoudre un problème inverse, c'est-à-dire faire une approximation de ces paramètres à partir des mesures obtenues sur le terrain. » Ces mesures, obtenues par carottage ou par pompage, permettent de déterminer des lois de distribution des probabilités sur la nature des roches, de même que sur la taille des fractures et leur orientation. Elles fournissent les valeurs des paramètres -par tirage aléatoire -pour lesquels sont effectuées les simulations. Au total des centaines de simulations sont réalisées afin d'avoir une bonne idée des résultats possibles.
Enfin, le calcul numérique doit permettre de simuler l'évolution sur des temps très longs, des millions d'années du fait de la durée de vie de certains éléments radioactifs. Il faut également prendre en compte un domaine de calcul tridimensionnel et différentes échelles : celle du « colis », celle du site et celle de l'environnement plus large correspondant à un espace de 40 kilomètres sur 40 et de 150 mètres de profondeur. Le domaine de calcul résultant est extrêmement grand et, afin de réduire les temps de calcul, ces chercheurs sont amenés à concevoir des algorithmes capables de tourner sur des architectures parallèles et des grilles de calcul. Ils développent des solutions génériques, sous formes de composants ou d'objets, qui pourront être employés pour d'autres problèmes environnementaux sur lesquels ils travaillent par ailleurs, comme l'étude de la dispersion d'un polluant dans une nappe phréatique ou le stockage souterrain de CO2. 

¹ Andra : agence nationale pour la gestion des déchets radioactifs

Contact :
Jérôme Jaffré,
équipe-projet ESTIME, INRIA Paris - Rocquencourt,
Tél. : +33 1 39 63 53 54

Jocelyne Erhel,
Équipe-projet SAGE, INRIA Rennes - Bretagne Atlantique,
tél. : +33 2 99 84 73 39

Risques sismiques Quel serait l'impact d'un séisme dans la région de Nice et quelles zones pourraient entrer en résonance et amplifier considérablement les vibrations (effets de site) ?  La simulation de la propagation des ondes sismiques 3D est une des stratégies permettant de répondre à ces questions. Pour cela, les géologues et les géophysiciens élaborent des modèles géométriques incluant la topographie, la nature des différentes couches géologiques ainsi que les failles potentielles, et proposent des scénarios.  Cette problématique est considérée par les équipes-projets MAGIQUE-3D et NACHOS dont les activités visent le développement de méthodes d'éléments finis d'ordre élevé applicables à des maillages non structurés (tétraédriques et hexaédriques) pour la simulation de la propagation d'ondes sismiques en milieux hétérogènes complexes. Ces méthodes sont  plus flexibles que la méthode des différences finies, historiquement la plus utilisée dans ce domaine, notamment pour la modélisation numérique réaliste des caractéristiques topographiques. Les phénomènes à simuler sont très rapides, localisés, et les domaines de calcul de grande dimension. Le recours au calcul parallèle, voire massivement parallèle, est incontournable et le développement d'algorithmes numériques adaptés aux plateformes de calcul parallèles modernes est au coeur des travaux de ces  deux équipes. Contacts : Stéphane Lanteri, Nathalie Glinsky-Olivier, Équipe-projet NACHOS, INRIA Sophia Antipolis - Méditerranée, Tél. : +33 4 92 38 77 34 Hélène Barucq, Dimitri Komatitsch,  Équipe-projet MAGIQUE-3D, INRIA Bordeaux - Sud Ouest, Tel.: +33 5 59 40 75 40